要約 当研究所で開発された多体問題の最近の物理理論 1 に基づいて、脳のモデルが定式化され、学習や記憶のプロセスなどの脳の典型的な特徴のいくつかがその中でどのように自然で単純な説明を見つけるかが示される。最後に、付録で必要な数学的形式主義の簡単な概要を示す。
1 UMEZAWA (1966); LEPLAE, SEN, and UMEZAWA (1966); UMEZAWA (1965).
現在、N. ウィーナーがサイバネティクスと名付けた研究の中で、自然脳と人工脳の研究が中心的な役割を果たしているが、脳が外部から受け取った情報をどのように処理するのか、また脳が実行する操作の根拠となる論理は何かという疑問は、まだ満足のいく解決にはほど遠いという意味で、具体的な成果はほとんど得られていないようである。脳の数学的モデルがいくつか考案されており(McCULLOCH and PITTS, 1943 ; CAIAINIELLO, 1961 ; HARTH, 1966)、それらはすべて、見た目には多少異なっているものの、電気生理学的証拠によって部分的に実証されているように、脳の記述における重要なパラメータは、ニューロンの活動状態または非活動状態、ニューロンの閾値の値、およびニューロンの結合係数の大きさであるという同じ仮定に基づいている。ニューロンはバイナリ要素としてみなされ、その出力は 2 値関数で記述できる。この関数は、明らかな正規化の後、通常はヘヴィサイド単位ステップ関数で表される。このようにして、N個の非線形代数方程式 (Nはニューロンの数) のシステムを書くことができる(CAIANlELLO、1961)。この方程式を、結合としきい値を指定して解くと、神経網の瞬間的な動作が得られる。
このタイプのモデルは、パターン認識などの事前に割り当てられた操作を実行できる人工ニューロンを基本要素とする機械を設計するのに特に役立つ。また、学習プロセスを導入したり、記憶を結合係数の時間変化とニューロンの発火における周期的な活動パターンの形成によるものとして説明したりすることもできる(CAIANIELLO、1961)。これらのモデルをニューロンネットワークのシミュレーターとして示すことは非常に適切であると思われる。現実を非常に徹底的に理想化したモデルであるため、ニューロンダイナミクスを調査するための強力なツールとなり、さらに、機械設計の問題、つまり特定の機能によって特徴付けられるアクティブネットワークの設計において、否定できない利点を提供する。しかし、自然の脳の場合、解剖学的または生理学的方法によってすべてのニューロンの結合係数と閾値の数値を決定することを期待するのは、純粋な楽観主義かもしれない。さらに、これらのモデルが真の脳のモデルと見なせるかどうかを尋ねるとすぐに、多くの疑問がすぐに生じる。まず第一に、脳はどのレベルで研究され、記述されるべきか。言い換えれば、自然の脳の行動を理解するために、単一のニューロンの時間的変化を知ることが不可欠であろうか。おそらく答えは否定的である。単一のニューロンの行動は、脳全体の機能にとって重要ではないはずである。そうでなければ、異常に長い半減期を特徴とする「特別な」ニューロンの存在を仮定しない限り、または脳の回路に大きな冗長性があると仮定しない限り、ますます高いレベルの機能不全が観察されるはずである。しかし、我々の知る限り、そのような「特別な」ニューロンの存在を示す証拠はなく、冗長性を持ち出すことは、この質問に答える最善の方法ではない。
もう一つの可能性は、次のとおり。単一のニューロンの活動は重要ではなく、むしろそれらのクラスターの活動パターンが重要である。重要なのは、クラスター全体の活動に何らかの形で関連する「量」のみであり、そのクラスターに属する生きているニューロンの数に応じて大きく変化することはない。ただし、後者の仮説がもたらす困難さは別として、前者の仮説に存在するのと同じ困難さも含んでいることは容易にわかる。さらに、解剖生理学的証拠によってこの種の仮説を裏付ける試みは、今のところ成功していないようである。
もう一つの重要な点は、ニューロンが脳の唯一の基本単位ではないということ、または少なくとも、ニューロンとともに、グリア細胞などの他の要素が重要な役割を果たしている可能性があるということである(ARBIB、1964 年、SCHMITT、1966 年)。
これまでのすべての考察から、提案された脳シミュレーターは、事前に割り当てられたタスクを実行できる「思考マシン」を設計するためにのみ役立つ可能性があることが再び浮かび上がる。それらはすべて、何らかの解剖学的および生理学的証拠から生まれたものであるが、脳の真のダイナミクスを記述するものと見なすことはできない。
すると、脳のダイナミクスに対する別のアプローチが自然に浮かび上がる。出発点は、ニューロンなどの基本的な実体が最も基本的なものであるとしても、それらの動的動作は非常に複雑であるため、それらの本来の特徴の多くが脳全体のマクロなダイナミクスの下に隠れてしまう可能性があるということである。この仮説は、最近、JOHN(1966) によって得られたいくつかの素晴らしい実験結果によって裏付けられた。彼は、特定の刺激技術に対する脳のいくつかの領域での類似したほぼ同時の反応 (一種の長距離相関) の存在は、単一の神経細胞の活動という観点からは説明できないことを明確に実証した。新しい非古典的なメカニズムを探す必要がある。すると、当然、次のような可能性が生まれる。脳が知的な動作を行うメカニズムは、（興味深く、時には有用ではあるもののREICHARDT、1957）仮説しか定式化できないため通常無視されるが、脳のダイナミクスのより一般的な説明を試みることができる。後で説明するように、現象論的観点からは、量子モデルを強く示唆している。言い換えれば、観察された脳の機能の基本的な要件を満たす特定の動的メカニズム（多自由度の物理学で既に知られているもの）を探すことができる。
以下では、まず脳のモデルが満たすべき必須要件が何であるかを検討し、その後、既存の物理理論を使用して、学習能力や記憶能力など、生物のよく知られた特徴を考慮に入れた脳の量子的記述を与える方法を見ていく。さらに、長距離相関の存在は、理論自体で自動的に説明される。
脳の最も典型的な特徴の1つは、記憶する能力、つまり多かれ少なかれ長い時間間隔で情報パターンを保存する能力である。より正確には、本質的に2種類の記憶、つまり長期記憶と短期記憶が存在することを示す証拠が多数あるようである (ARBIB、1964 年、SCHMITT、1966 年)。アイデアを長期記憶に移す前に、短期記憶でかなり長い間保持する必要があるようである。
記憶はどのようにして説明できるであろうか? 脳には \(10^{10}\) 個のニューロンと、ニューロンと血管を密接に取り囲むその10倍の数のグリア細胞が含まれていると推定されている。多くのニューロンは、他のニューロンから数百または数千の繊維接続を受け取る (BRAITENBERG 他、1965)。その結果生じるニューロンネットワークは、顕微鏡で調べるには複雑すぎるため、専門家は、実際に追跡された接続はわずか数パーセントであると推定している (SCHMITT、1966)。これらの無数の「ネットワーク内のネットワーク」は、高次の精神機能と最も密接に関連する領域である脳皮質で特に複雑で数が多い。
特に長期記憶、学習、その他の高次神経機能は、このような複雑な神経ネットワークを通過するインパルスから生じると考えられており、個々の長期記憶は、それぞれの特定のネットワークにおけるインパルスの絶え間ない反響の通過によって物理的に説明できる可能性がある（SCHMITT、1966）。
しかし、重大な異論もあるようである。脳内の生体電気波は、冷却、電気ショック、または薬物による治療によって停止することができ、回復後に記憶を失うことはない。さらに、多くのアブレーション実験の後でも、または脳を多方向にスライスして既存のネットワークの一部が確実に破壊されても、記憶は失われない。
これらの事実は、記憶が個々のニューロン ネットに「配線」されているのではなく、脳内に拡散していることを示唆している (SCHMITT、1966)。受信メッセージに対応する最初のネットの情報は、多くの場合、メッセージを伝達する刺激の元の位置から遠く離れた他のネットに転送される。
この枠組みでは、たとえニューロンが互いに離れた場所に位置していても、ニューロンの活動の間に何らかの相関関係を観察できる可能性が自動的に生まれる (現在、ニューロンは他のシステムや「実体」よりもはるかに簡単に観察できる)。これは実験的証拠によって裏付けられている (BRAITENBERG、1965 年、RICCIARDI、1966 年)。
最後にもう一つ述べておくべきことは、記憶された複数の情報を意識的に同時に思い出すことはできないということである。より正確に言うと、記憶された情報は並列ではなく連続的なプロセスに従って思い出すことができると信じる十分な理由があり、よく知られているように、何かが思い出されるとすぐに、さらに、時には無関係な情報も思い出されることがよくある。また、この最後のコメントは、すぐにわかるように、私たちが提案しようとしているモデルで自然に説明される。
このセクションでは、脳を非常に多くの相互に作用するユニットの集合として記述するモデルが満たすべき必須要件について検討する。以下で明らかにするように、このモデルは前のセクションで述べた実験的証拠にしっかりと基づいている。前述では、モデルを構築するために実行する必要がある論理的手順を明らかにしながら、我々の議論がすでに十分に根拠のある物理理論の線に沿っている様子を見ていく。後者から、我々のモデルをさらに深く発展させるために必要な数学的ツールを導き出すことができる。
脳を、外界と相互作用するシステムとして見てみよう。外界から脳は刺激を受け取り、その結果、システムは特定の状態になる。最初の要件は、刺激が何らかの方法でコード化され、その効果が、刺激がなくなった後も脳に反映される必要があることである。これは、脳が、受け取った刺激の効果として、その状態を変えることを意味する。状態は、適切な変数の集合で記述できる。以下では、物理学の用語に従って、これを「動的変数」と呼ぶ。通常の脳モデルでは、これらの変数は、たとえば、ニューロンの活動状態または非活動状態を記述する 2 進変数と同一視できる。ただし、前述の理由により、ここでは、ニューロンを脳の基本単位として必ずしも考えるつもりはない。したがって、変数は、脳のさまざまな状態を生成するために不可欠な、特定の (非常に多数の) 実体に関連していると考える必要がある。ここでは、それらの性質を分析する必要はない。正確に言うと、変数は、孤立した脳の定常状態または準定常状態を記述するものでなければならない。量子力学の通常の用語によれば、そのような状態は、特定の変換 2 の下でのシステムの不変性と関連する量子数によって分類できる。次に、量子数の指定をコード自体と想定できる。さらに、不変変換の下で変化しない変数のみが、対応するコードによって表される情報の保存を担当する。
2 たとえば、読者は球対称性に関連する角運動量を思い出すであろう。
これらの変数は、与えられた不変変換の下で独立に変換する集合（以下、独立集合と呼ぶ）に分類されなければならない。これらの集合は、量子数3でラベル付けすることができる。さらに、独立集合の分類は不変変換の選択に依存し、一般には複数の非可換不変変換4が存在する可能性がある。
3 たとえば、スピン二重項はスピン回転に関連付けられた1/2スピン量子数を持つ。
4 たとえば、これは多様体空間での回転の場合に起こる。
さまざまな刺激に応じて、これらの変数は変化し、それらに関連付けられた量子数の励起状態を作成する。この段階ですでに、外部からシステムに入力される情報は脳にコード化されている。記憶プロセスの第一の要件は安定性であるため、コードは後でシステムの基底状態に転送される必要がある。これは、励起状態によってすでに保持されているコード化された情報を基底状態に凝縮することによって実現できる。このような凝縮により、学習プロセスを説明することができる。
前述の凝縮は、多体問題の物理学でよく知られているボーズ・アインシュタイン凝縮現象で説明できる。より詳しく言うと、特定の量子数を持つボーズ粒子の凝縮は、量子数自体を基底状態に移行させる (たとえば、強磁性の場合のスピン波のボーズ凝縮は、分極した基底状態を作成する)。この議論では、ボーズ統計に従う変数が脳内に存在することが必要である。そのような変数は、脳システム自体にコードを供給し、それを維持するために、長距離特性も備えている必要がある。言い換えると、膨大な数の実体で構成されるこのような複雑なシステムの相互作用は、脳のダイナミクスを制御する長距離ボーズ相関の作成という効果をもたらす。
物理学の用語で言えば、現在のモデルが提案しているのは、脳の機能は脳のダイナミクスにおけるさまざまな対称性の自発的な崩壊の現れであり、上記の長距離ボソンはいわゆるゴールドストーン量子に対応するということである。
前述の説明によれば、長期記憶は基底状態と関連しているが、短期記憶は準安定励起状態の存在と関連している可能性がある。
脳を膨大な数の相互作用する実体からなるシステムとして記述することには、別の利点もある。それは、相当数のユニットが破壊されても、システム全体の特性が著しく変化しないということである。しかし、前述のように、通常の脳シミュレーターでは、破壊は壊滅的な影響を及ぼす。
最後に、我々の議論から、ニューロンの活動の間にも相関関係があることが予想されるが、これは、前に述べたように、最近すでに観察されている。
概説したモデルは、さらなる理論的研究の出発点に過ぎないが、この段階ですでに、以前に概説した理論から自然に浮かび上がるいくつかの追加のコメントを行う必要がある。
記憶プロセスとしての脳の基本的な特性を説明する長距離相関の存在は、実験的証拠 5 によって裏付けられているようである (John, 1966)。さらに、これはさまざまなタイプの短期記憶プロセスの存在も示唆している。前のセクションでは、短期記憶は励起状態間の遷移に関連すると解釈した。このような解釈には、頻繁に観察される「アイデアの連想」の理由を示すという利点がある。さらに、記憶が脳システムの状態と関連しているという事実から、複数のコードが同時に脳に転送されることはないと予測できる。ここで、心理学実験では複数の記憶プロセスが同時に発生しない可能性があることが示されていることを思い出すと便利である。
5 よく知られているように、極めて安定したタイプの記憶は、DNA 分子の構造に含まれる遺伝コードと関連しているようである。提案されたモデルは、遺伝的メカニズムを説明するためにも利用でき、長距離相関の凝縮によって安定性を説明することもできる。
また、短期記憶の説明には、別の可能性も確かに提示されている。実際、脳はいくつかの領域で構成されていると考えることができる。そして、物理的に分離されていると考えられるこれらの各領域に、前述の議論を適用することができる。しかし、我々のモデルには長距離相関が存在するため、これらの領域は機能的に分離されるべきではなく、したがって、それらの1つに保持されているコードは、他の領域の影響により破壊されたり変更されたりする可能性がある。
もう一つの注意点は次のとおり。参照3で述べたように、独立集合の分類は、複数の非可換不変変換が存在する可能性があるため、不変変換の選択に依存する。この状況は、多体問題のいくつかの記述の明らかな特性であるが、この文脈では、特定の刺激を受けた生物の「多対一」型の反応がよく観察されることを説明すると同時に、記憶プロセスにおける破壊的または連想的な相関関係を説明する。
最後に、脳とそれに関わる微視的プロセスに関する現在の知識では、不変性が多数存在するはずであるにもかかわらず、どのような種類の不変性が存在するかを推測することはまだできないことを指摘しておきたい。したがって、現時点では何も予想しないことにする。しかし、多体問題では、長距離相関の特性を調べるだけで、不変性の可能性のある種類が示唆されることがよくあることを指摘しておきたい。また、脳の場合も、この方法に従うことで、最終的には有望な結果が得られると考えている。
6 この付録では、我々のモデルの基礎となる数学についてごく簡単に説明する。ただし、興味のある読者は、テキストで使用されているタイプの理論の完全な説明を、UMEZAWA (1966) (専門家でなくても簡単に読める)、LEPLAEら(1966)、UMEZAWA (1965) で見つけることができる。ボーズ凝縮に関する詳細な数学的考察は、ARAKI and WOODS (1963) および EZAWA (1965) にある。最後に、我々のフレームワークによる多体問題の簡単な説明は、たとえば HENLEY and THIRRING (1962) にある。
定常振動または準定常振動を記述する動的変数の集合 \(\{X_i(\vec{x},t)\}\) を考えてみよう。\(\vec{x}\) と t はそれぞれ位置と時間を表す。量子力学の用語によれば、定常振動は調和振動子で記述でき、準定常振動は減衰振動子で表される。これらの振動子は、すでに紹介した実変数の集合 \(\{X_i(\vec{x}, t)\}\) と、それらの標準共役 \(\{X_i(\vec{x}, t)\}\) で記述される。インデックス \(i\) は一般に離散値と連続値の両方を取ることができる。
ここで、主量子数を \(n_i (n_i = 0 , 1, 2, . . . )\) で表すと、対応するエネルギー \(E_i\) は次のようになる。 \[ E_i=n_i\omega_i (n_i=0,1,2,...) \] ここで、\(\omega_i\) は振動のエネルギーを表す。ここでは半減期の長い準定常振動のみを対象とするため、第一近似として、それらを定常振動として考える。
ここで、変数 \(X_i\) がボーズ統計 7 に従うと仮定する。これは、次の交換関係が成り立つことを意味する。
7 これは、ボソンが脳の本来の構成要素を表しているという意味ではなく、元の変数とここで導入された \(X_i\) の間にマッピングが存在すると仮定しているということである。さらに、ボソンは純粋な空想上のフィクションを表しているわけではないことを強調しておく。実際、観察された特性から、ボソンを現実的な実体として識別できなければならない。この点で、長距離相関のエネルギー スペクトルを測定することは、非常に緊急かつ重要な問題である。
\[ [X_i(\vec{x},t),X_j(\vec{y},t)]=i\hbar\delta_{ij}\delta(\vec{x}-\vec{y}) \] ここで、新しい変数 \(\xi_j\) を以下で定義するように8構築する。
8 曖昧さが生じるリスクがない場合は、簡潔にするために、引数 \((\vec{x}, t)\) を省略する。
\[ \xi_j=\frac{X_j+iX_j}{2} \] Their hermitic conjugate \(\xi_j^\dagger\) are then given by \[ \xi_j^\dagger=\frac{X_j-iX_j}{2} \] そして、\(\xi_i\) と \(\xi_j^\dagger\) の間には、次の交換関係が成り立つ。 \[ [\xi_i(\vec{x},t),\xi_j^\dagger(\vec{y},t)]=i\hbar\delta_{ij}\delta(\vec{x}-\vec{y}) \tag{1} \] よく知られているように、主量子数\(n_j\)は演算子の固有値である。 \[ \int d^3x\xi_j^\dagger\xi_j \] そして\(\xi_j\)は指数関数によってのみ \(t\) に依存する \[ \exp[-i\omega_j t] \] ここで、エネルギーがゼロとみなされる基底状態を \(\Phi_0\) で表すと、状態 \(\xi_j^\dagger\Phi_0\) は対応するエネルギーが \(z\omega_j\) である励起状態を表す。この方法で進めていくと、すべての励起状態を構築できる。 \[ \langle\tilde{\xi}_j\rangle=\eta_j\neq 0 \tag{2} \] これらの変数\(\tilde{\xi}_j\)は常に次の形式で記述できる。 \[ \tilde{\xi}_j=\xi_j+\eta_j \tag{3} \] ここで、\(\xi_j\)はすでに紹介した演算子である。
\(\xi_j\) はボーズ統計に従うので、変数 \(\tilde{\xi}_j\) は交換関係 (1) を満たし、したがってそれらも標準的であることに注目してもらいたい。
動的変数は、与えられた不変変換の下で独立に変換される独立集合に分類することができ、それぞれは量子数によって指定される。不変変換とは、動的システムがまったく変化しない変換であることを思い出そう。
ここで、(2) を満たす変数 \(\tilde{\xi}_j\) を含む独立集合に注目してみよう。 \(\tilde{\xi}_j\) は量子数を持つが、(3) により、\(\eta_j\) も量子数を持ち、最終的に (2) により、この量子数が基底状態に与えられる。直感的に言えば、量子数を持つボソンの凝縮により、同じ量子数を維持する基底状態が生まれる。
基底状態に伝達される量子数は、3 で紹介したコードで識別する必要がある。
自明でない量子数の基底状態は、不変変換の下で不変な状態ではないことは明らかである。それでも、ボソン (\(\xi_i\)) のエネルギースペクトル (\(\omega_i\)) がギャップレスである場合、システムの不変性質と矛盾することなく、そのような基底状態が出現する可能性がある9。ここで、エネルギースペクトルは、その最小値が基底状態のエネルギーと一致するときにギャップレスであると言われている。ボソンの凝縮は、ボソンのエネルギー スペクトルがギャップレスである場合、外部からのエネルギー供給なしで行うことができる。任意の不変変換はエネルギー供給なしで実行できるため、基底状態での凝縮は不変変換によって制御できる。ボソンエネルギースペクトルのギャップレスな性質が、ボソン効果の長距離特性10（すなわち長距離相関）の起源であることに留意する必要がある。
9 たとえば、結晶と強磁性体を思い出してもらいたい。結晶では、相互作用は空間移動によって格子構造が作られても不変である。分極磁石では、相互作用はスピン回転によって不変である。どちらの場合も、ギャップのないボソンが存在する。
10 クーロン型の長距離ポテンシャルが存在する場合、ボソンのエネルギー スペクトルはギャップがない必要はない。このような場合、ボソン効果の長距離特性は、ポテンシャルの特性から生じる。
励起状態 \(\xi_i^\dagger\Phi_0\)、\(\xi_i^\dagger\xi_j^\dagger\Phi_0\) などは外部刺激の影響下で現れ、\(\xi_j\) は量子数を持っているため、励起状態は追加の量子数を持つ。これらは短期記憶のコードを表す。
励起状態は、その固有の不安定性のため、または特定のサブシステムと隣接領域との相互作用のために、より低い状態に崩壊する可能性があることに注意。
最後に、任意の連続変換下での検討対象のダイナミクスの不変性は、特定の量子数を運ぶ局所的に保存される電流の起源となり、これが長距離相関の起源となることを思い出そう。注目すべきは、コード（つまり量子数）の通信は保存される電流によってのみ実行されるという事実であり、この状況は、コードが自発的に消滅しないという意味で、コードの保存を自動的に保証する。
第一著者 (L.M.R.) は、7 月 18 日から 8 月 12 日までコロラド州ボルダーで開催された神経科学研究プログラム、集中研究プログラムにお招きいただいた F. O. SCHMITT 教授に感謝の意を表す。このプログラムでは、一部の研究が行われた。
第二著者（H.U.）は、ナポリの物理学理論研究所でのおもてなしに対してE.R. CAIANIELLO教授に心から感謝の意を表す。